Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，且S_n=3ⁿ+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=a_n（2n-1），求數(shù)列{b_n}的前n項的和．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n=

s1   n=1 sn-sn-1，n≥2

及S_n=3ⁿ+1，代入即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把（1）中求得的結(jié)果代入b_n=a_n（2n-1），采取錯位相減法即可求得數(shù)列{b_n}的前n項的和．

解答：解：（1）∵S_n=3ⁿ+1．
∴S_n-1=3^n-1+1
∴a_n=3ⁿ+1-（3^n-1+1）=2•3^n-1．
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=4
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=

4   n=1 2•3n-1，n≥2

；
（2）b_n=a_n（2n-1）=

4   n=1 2(2n-1)•3n-1，n≥2

，
∴令數(shù)列{b_n}的前n項的和T_n，
則當(dāng)n=1時，T₁=4，
當(dāng)n≥2時，T_n=4+2•3•3+2•5•3²+…+2（2n-1）3^n-1，
3T_n=3×4+2•3•3²+2•5•3³+…+2（2n-1）3ⁿ，
∴-2T_n=10+2•2•3+2•2•3²+…+2•23^n-1-2（2n-1）3ⁿ，
=10+4

3(1-3n-1)

1-3

-2（2n-1）3ⁿ
=10+2（3ⁿ-3）-2（2n-1）3ⁿ
T_n=（2-2n）3ⁿ+2，
綜上所述T_n=

4   n=1 (2-2n)•3n+2，n≥2

．

點評：此題是個中檔題．考查根據(jù)a_n=

s1   n=1 sn-sn-1，n≥2

求數(shù)列通項公式的方法以及錯位相減法求數(shù)列的前n項和，體現(xiàn)了分類討論的思想．以及學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力．