Question

【題目】設命題p：實數x滿足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命題q：實數x滿足x2﹣5x+6＜0．

（1）若a＝1，且p∧q為真命題，求實數x的取值范圍；

（2）若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2，3）（2）[1，2]

【解析】

（1）根據p∧q為真命題，所以p真且q真，分別求出命題p為真命題和命題q為真命題時對應的x的取值范圍，取交集，即可求出x的取值范圍；

（2）先分別求出命題p為真命題和命題q為真命題時，對應的集合，再根據充分、必要條件與集合之間的包含關系，即可求出。

（1）當a＝1時，若命題p為真命題，則不等式x2﹣4ax+3a2＜0可化為x2﹣4x+3＜0，

解得1＜x＜3；

若命題q為真命題，則由x2﹣5x+6＜0，解得2＜x＜3．

∵p∧q為真命題，則p真且q真，

∴實數x的取值范圍是（2，3）

（2）由x2﹣4ax+3a2＜0，解得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，∴a＜x＜3a

設p：A＝{x|a＜x＜3a，a＞0}，q：B＝{x|2＜x＜3}

∵p是q的必要不充分條件，∴BA．

∴，解得1≤a≤2

∴實數a的取值范圍是[1，2]