Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知BC=1，BB1=2，∠BCC1=90°，AB⊥側面BB1CC1 ．

（1）求直線C1B與底面ABC所成角的正弦值；
（2）在棱CC1（不包含端點C，C1）上確定一點E的位置，使得EA⊥EB1（要求說明理由）．
（3）在（2）的條件下，若AB= ，求二面角A﹣EB1﹣A1的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，以B為原點建立空間直角坐標系，則B（0，0，0），C1（1，2，0），B1（0，2，0）

直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，

平面ABC的法向量 ，又 ，

設BC1與平面ABC所成角為θ

，則

（2）解：設E（1，y，0），A（0，0，z），則 ，

∵EA⊥EB1，

∴

∴y=1，即E（1，1，0）所以E為CC1的中點

（3）解：∵A（0，0， ），則 ，

設平面AEB1的法向量m=（x1，y1，z1），

則 ∴ ，

取m=（1，1， ），

∵ ，

∴BE⊥B1E，又BE⊥A1B1∴BE⊥平面A1B1E，

∴平面A1B1E的法向量 ，

∴cos＜m， ＞= ，

∴二面角A﹣EB1﹣A1為45°．

【解析】（1）求出平面的法向量與直線所在的向量，利用向量的有關運算求出兩個向量的夾角，進而轉化為線面角即可．（2）根據點的特殊位置設出點的坐標為E（1，y，0），再利用向量的基本運算證明兩個向量垂直即可證明兩條直線相互垂直．（3）結合題意求出兩個平面的法向量求出兩個法向量的夾角，再轉化為兩個平面的二面角即可．
【考點精析】關于本題考查的用空間向量求直線與平面的夾角，需要了解設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，　則為的余角或的補角的余角.即有：才能得出正確答案．