精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

證明：已知a與b均為有理數(shù)，且 $數(shù)學(xué)公式$ 和 $數(shù)學(xué)公式$ 都是無理數(shù)，證明 $數(shù)學(xué)公式$ + $數(shù)學(xué)公式$ 也是無理數(shù)．

證明：假設(shè) $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是有理數(shù)，則（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=a-b
由a＞0，b＞0則 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＞0即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≠0
∴ $\text{[math]}$ ∵a，b?Q且 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ∈Q
∴ $\text{[math]}$ ∈Q即（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）∈Q
這樣（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ ∈Q
從而 $\text{[math]}$ ?Q（矛盾）∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是無理數(shù)
分析：本題利反證法證明：假設(shè) $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是有理數(shù)，則（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=a-b這樣推出（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ ∈Q，從而 $\text{[math]}$ ?Q（矛盾）最后得出 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是無理數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了反證法的定義，反證法在數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用，當(dāng)論題從正面不容易或不能得到證明時(shí)，就需要運(yùn)用反證法，此即所謂“正難則反“．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明：已知a與b均為有理數(shù)，且

和

都是無理數(shù)，證明

也是無理數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：047

用反證法證明：已知a與b均為有理數(shù)，且與都是無理數(shù)，證明是無理數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

證明：已知a與b均為有理數(shù)，且

和

都是無理數(shù)，證明

也是無理數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：同步題 題型：證明題

用反證法證明：已知a與b均為有理數(shù)，且

與

都是無理數(shù)，證明

是無理數(shù)。

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證明：已知a與b均為有理數(shù)，且和都是無理數(shù)，證明+也是無理數(shù)．

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