Question

【題目】已知函數f（x）=log2（ ）﹣x（m為常數）是奇函數．
（1）判斷函數f（x）在x∈（ ，+∞）上的單調性，并用定義法證明你的結論；
（2）若對于區間[2，5]上的任意x值，使得不等式f（x）≤2x+m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由條件可得f（﹣x）+f（x）=0，即 ，

化簡得1﹣m2x2=1﹣4x2，從而得m=±2；由題意m=﹣2舍去，

所以m=2，即 ， 上為單調減函數；

證明如下：設 ，則f（x1）﹣f（x2）=log2（ ）﹣x1﹣log2（ ）+x2，

因為 ＜x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，2x1﹣1＞0，2x2﹣1＞0；

所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）；

所以函數f（x）在x∈（ ，+∞）上為單調減函數

（2）解：設g（x）=f（x）﹣2x，由（1）得f（x）在x∈（ ，+∞）上為單調減函數，

所以g（x）=f（x）﹣2x在[2，5]上單調遞減；

所以g（x）=f（x）﹣2x在[2，5]上的最大值為 ，

由題意知n≥g（x）在[2，5]上的最大值，所以

【解析】（1）求出m的值，求出f（x）的解析式，根據函數單調性的定義證明即可；（2）設g（x）=f（x）﹣2x，根據函數的單調性求出g（x）的最大值，從而求出n的范圍即可．