Question

【題目】已知.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時, 證明對于任意的成立.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時,在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減, 當(dāng)時,在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)時,在內(nèi)單調(diào)遞增, 當(dāng)時,在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減, 在單調(diào)遞增；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對分類分析導(dǎo)函數(shù)的符號，由導(dǎo)函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)性；

（2）構(gòu)造函數(shù)，令，．則

，利用導(dǎo)數(shù)分別求與的最小值得到恒成立．由此可得對于任意的成立．

試題解析：（1）的定義域為,當(dāng)時, 時, 單調(diào)遞增, 時, 單調(diào)遞減, 當(dāng)時,.

①時,, 當(dāng)或時, 單調(diào)遞增, 當(dāng)時, 單調(diào)遞減.

②時,, 在內(nèi), 單調(diào)遞增.

③當(dāng)時,, 當(dāng)或時, 單調(diào)遞增, 當(dāng)時, 單調(diào)遞減.

綜上所述, 當(dāng)時, 在內(nèi)單調(diào)遞增, 在內(nèi)單調(diào)遞減, 當(dāng)時, 在內(nèi)單調(diào)遞增, 在內(nèi)單調(diào)遞減, 在內(nèi)單調(diào)遞增, 當(dāng)時, 在內(nèi)單調(diào)遞增, 當(dāng)時, 在內(nèi)單調(diào)遞增, 在內(nèi)單調(diào)遞減, 在單調(diào)遞增.

（2）證明: 由（1）知時,

,

設(shè),則,

由,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號, 又,

設(shè),則在單調(diào)遞減, 因為,

使得時, 時, 在內(nèi)單調(diào)遞增, 在內(nèi)單調(diào)遞減, 由,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號, 所以,即對于任意的成立.