Question

設函數y=f（x）在區間（a，b）上的導函數為f′（x），f′（x）在區間（a，b）上的導函數為f″（x），若在區間（a，b）上f″（x）＜0恒成立，則稱函數f（x）在區間（a，b）上為“凸函數”．已知函數f（x）=

1

12

x4-

1

3

x3-

3

2

x2在區間（a，b）上為“凸函數”，則b-a的最大值為（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

分析：利用導數的運算法則可得f′（x），f^″（x）．由于函數f（x）在區間（a，b）上為“凸函數”，
可得：在區間（a，b）上f″（x）＜0恒成立，解得即可．

解答：解：∵函數f（x）=

1

12

x4-

1

3

x3-

3

2

x2，∴f′(x)=

1

3

x3-x2-3x，
∴f^″（x）=x²-2x-3，
∵函數f（x）在區間（a，b）上為“凸函數”，
∴在區間（a，b）上f″（x）＜0恒成立，
由x²-2x-3＜0，解得-1＜x＜3．
∴a=-1，b=3，
∴b-a=3-（-1）=4．
故選：A．

點評：本題考查了導數的運算法則、“凸函數”的定義，屬于基礎題．