Question

設函數y=f（x）在（a，b）上的導數為f′（x），f′（x）在（a，b）上的導數為f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，則稱函數f（x）在（a，b）上為“凸函數”．若函數f(x)=

1

12

x4-

1

6

mx3-

3

2

x2為區間（-1，3）上的“凸函數”，則m=

2

．

Answer 1

分析：先求出f″（x），由題意可知f″＜0，即x²-mx-3＜0在（-1，3）上恒成立，則

(-1)2-m(-1)-3≤0 32-3m-3≤0

，解出即可．

解答：解：f′（x）=

1

3

x3-

1

2

mx2-3x，f″（x）=x²-mx-3，
因為f（x）為區間（-1，3）上的“凸函數”，
所以f″＜0恒成立，即x²-mx-3＜0在（-1，3）上恒成立，
則

(-1)2-m(-1)-3≤0 32-3m-3≤0

，解得m=2，
故答案為：2．

點評：本題考查導數在函數中的應用，考查學生對新問題的理解分析能力，屬中檔題．