Question

【題目】如圖，三棱錐中，平面平面，，，點，分別是棱，的中點，點是的重心.

（1）證明：平面；

（2）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據三角形重心性質可得，根據三角形中位線性質得，再根據線面平行判定定理得平面，平面，最后根據面面平行判定定理以及性質得結果；

（2）先根據面面垂直性質定理得平面，確定與平面所成的角，再根據條件建立空間直角坐標系，求出各點坐標，利用向量數量積得各面法向量，最后根據向量夾角公式得法向量夾角，即得二面角所成角.

（1）連接，連接并延長交于點，則點為的中點，

從而點，，分別是棱，，的中點，

∴，.

又，平面，，平面，

∴平面，平面.

又，平面，，

∴平面平面，

又平面，

∴平面.

（2）連接，∵，是的中點，∴，

∵平面平面，平面平面，

平面，平面.

連接并延長交于點，則為的中點，

連接，則，∴平面.

∴為與平面所成的角，即.

在中，設，則，，∴，.

∴，，，

∴，即，

如圖建立空間直角坐標系，

則，，.

∴，，

設平面的一個法向量為，

則，可取，

又平面的一個法向量為，

則，

所以二面角的余弦值為.