Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）若，且方程在區(qū)間內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 極小值為，極大值為. (Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）將a＝b＝1代入函數(shù)f（x）的解析式，求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），求出極值點(diǎn)，并分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可確定函數(shù)的極大值和極小值；

（Ⅱ）由f（1）＝1，得b＝e﹣1﹣a，再由f（x）＝1，得ex＝ax2+bx+1，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝ex﹣ax2﹣bx﹣1，分析函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)g（x）的極值正負(fù)確定方程f（x）＝1在區(qū)間（0，1）內(nèi)有解的等價(jià)條件，從而構(gòu)造不等式求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

（Ⅰ），當(dāng)時(shí)，，

，得，∴在上單調(diào)遞增；

，得或，∴在和上單調(diào)遞減.

∴的極小值為，極大值為.

（Ⅱ）由得，由得，

設(shè)，則在內(nèi)有零點(diǎn)，設(shè)為在內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，

由知在和不單調(diào).

設(shè)，則在和上均存在零點(diǎn)，即在上至少有兩個(gè)零點(diǎn).

，，

當(dāng)時(shí)，，在上遞增，不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，在上遞減，不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，令得，

∴在上遞減，在上遞增，在上存在最小值，

若有兩個(gè)零點(diǎn)，則有，，，

，，

設(shè)，，則，令，得，

當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減.

∴，∴恒成立.

由，，得.