Question

【題目】已知拋物線，直線 與拋物線交于，兩點．

（1）若以為直徑的圓與軸相切，求該圓的方程；

（2）若直線與軸負半軸相交，求(為坐標原點)面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）聯立，消并化簡整理得,利用圓與軸相切的位置關系得弦從而確定的值，進而求得該圓的方程；

（Ⅱ）首先根據直線與拋物線的位置關系將弦的長度和原點到直線的距離均表示為的函數，并確定的取值范圍，從而把的面積也表示為的函數，最后利用函數的最值求出的最大值.

試題解析：（Ⅰ）聯立，消并化簡整理得．

依題意應有，解得．

設，則，

設圓心，則應有．

因為以為直徑的圓與軸相切，得到圓半徑為，

又．

所以，

解得．

所以，所以圓心為．

故所求圓的方程為．

（Ⅱ）因為直線與軸負半軸相交，所以，

又與拋物線交于兩點，由（Ⅱ）知，所以，

直線：整理得，點到直線的距離，

所以． 令，，

，

	＋	0	－
		極大

由上表可得的最大值為．所以當時，的面積取得最大值．