Question

拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=120°．過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則

|MN|

|AB|

的最大值為（　　）

A． 3 3

B．1

C． 2 3 3

D．2

Answer 1

設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF
由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab
配方得，|AB|²=（a+b）²-ab，
又∵ab≤（

a+b

2

）2，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-

1

4

（a+b）²=

3

4

（a+b）²
得到|AB|≥

3

2

（a+b）．
所以

|MN|

|AB|

≤

1 2 (a+b)

3 2 (a+b)

=

3

3

，即

|MN|

|AB|

的最大值為

3

3

．
故選：A