Question

【題目】如果存在函數（為常數），使得對函數定義域內任意都有成立，那么稱為函數的一個“線性覆蓋函數”．給出如下四個結論：

①函數存在“線性覆蓋函數”；

②對于給定的函數，其“線性覆蓋函數”可能不存在，也可能有無數個；

③為函數的一個“線性覆蓋函數”；

④若為函數的一個“線性覆蓋函數”，則

其中所有正確結論的序號是___________.

Answer 1

【答案】②③.

【解析】

根據題中提供的定義，對每一個選項通過證明或找反例分析對錯，從而解得正確選項.

解：選項①：假設存在，為函數的一個“線性覆蓋函數”，此時顯然不成立，只有才有可能使得對函數定義域內任意都有成立，即，而事實上，增長的速度比要快很多，當時，的函數值一定會大于的函數值，故選項①不成立；

選項②：如函數，則就是函數的一個“線性覆蓋函數”，且有無數個，再如①中的就沒有“線性覆蓋函數”，所以命題②正確；

選項③：設，

則，

令，解得，

當時，，函數為單調增函數；

當時，，函數為單調減函數；

所以

，

所以在上恒成立，故滿足定義，選項③正確；

選項④：若為函數的一個“線性覆蓋函數”，

則 在R上恒成立，

即在R上恒成立，

故，

因為開口向下，對稱軸為，

所以當時，，

所以，所以選項④錯誤，

故本題選擇②③.