已知橢圓
：
，過點
作圓
的切線
交橢圓于A，B兩點。
（1）求橢圓的焦點坐標和離心率；
（2）求
的取值范圍；
（3）將
表示為的函數，并求的最大值．
（1）橢圓的焦點坐標為
，離心率為
；（2）
；（3）
．當
時，
，所以的最大值為2．
解析試題分析：（1）由已知及
，
，
關系可得的值，從而得橢圓的焦點坐標．由離心率計算公式可求得橢圓的離心率；（2）過點能作圓的切線，則此點在圓上或圓外，由此可得的取值范圍；（3）先考慮過點所作的圓的切線斜率不存在的情形，即先求
和
時的長；再考慮
時的情形．設切線的方程為
，代入橢圓方程消去
得關于
的一元二次方程：
，設
兩點的坐標分別為
，利用韋達定理可得
及
的值，代入弦長公式
，可得弦長的表達式，利用圓的切線性質消去
，得弦長關于
的函數，最后利用均值不等式可求得的最大值．
試題解析：（1）由已知可得
．所以橢圓的焦點坐標為離心率為； 4分
（2）由題意知，
，即； 6分
（3）當時，切線的方程為
，點的坐標為
，此時
．
當時，同理可得
8分
當時，設切線的方程為，由
；
設兩點的坐標分別為，則
； 10分
又由與圓
11分
．
．
，且當時，，所以的最大值為2． 15分
考點：1．求橢圓離心率；2．圓的切線；．3．直線和橢圓的相交弦長的計算；4．均值不等式的應用．
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
的頂點為原點，其焦點
到直線
的距離為
．設
為直線
上的點，過點作拋物線的兩條切線
，其中
為切點．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設點
為直線上的點，求直線
的方程；
(Ⅲ) 當點
在直線上移動時，求
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在周長為定值的DDEC中,已知
,動點C的運動軌跡為曲線G,且當動點C運動時,
有最小值
．
（1）以DE所在直線為x軸,線段DE的中垂線為y軸建立直角坐標系,求曲線G的方程;
（2）直線l分別切橢圓G與圓
(其中
)于A、B兩點,求|AB|的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在
軸上方有一段曲線弧
，其端點
、
在軸上（但不屬于），對上任一點
及點
，
，滿足：
．直線
，
分別交直線
于
，
兩點．
（Ⅰ）求曲線弧的方程；
（Ⅱ）求
的最小值（用
表示）；
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
與雙曲線
有公共焦點
，點
是曲線
在第一象限的交點，且
．
（1）求雙曲線
的方程；
（2）以雙曲線的另一焦點
為圓心的圓
與直線
相切，圓
.過點
作互相垂直且分別與圓、圓
相交的直線
和
，設被圓截得的弦長為
，被圓截得的弦長為
，問：
是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，直線l與拋物線
相交于不同的兩點A，B.
（I）如果直線l過拋物線的焦點，求
的值；
（II）如果
，證明直線l必過一定點，并求出該定點坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設
是拋物線
上相異兩點，
到y軸的距離的積為
且
．
（1）求該拋物線的標準方程.
（2）過Q的直線與拋物線的另一交點為R，與
軸交點為T，且Q為線段RT的中點，試求弦PR長度的最小值．
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，焦點在
軸上的拋物線過點
.
交于
、
兩點，求證：
.