Question

已知f(x)=

x

1-x

，設f₁（x）=f（x），f_n（x）=f_n-1[f_n-1（x）]（n＞1，n∈N^*），則f₃（x）的表達式為

 

，猜想f_n（x）（n∈N^*）的表達式為

 

．

Answer 1

分析：由已知f(x)=

x

1-x

，設f₁（x）=f（x），f_n（x）=f_n-1[f_n-1（x）]（n＞1，n∈N^*），則易得f₂（x）、f₃（x）的表達式，根據三個表達式，我們歸納出變化規律，進而推斷出f_n（x）（n∈N^*）的表達式．

解答：解：f1(x)=

x

1-x

，f2(x)=f1[f1(x)]=

f1(x)

1-f1(x)

=

x 1-x

1- x 1-x

=

x

1-2x

，f3(x)=f2[f2(x)]=

f2(x)

1-2f2(x)

=

x 1-2x

1-2• x 1-2x

=

x

1-22x

；
…
猜想fn(x)=

x

1-2n-1x

．
故答案為：

x

1-22x

，

x

1-2n-1x

點評：猜想是課改的一個亮點，也是近年高考的一個熱點．歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．