Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°．BC=CC1=a，AC=2a．
（1）求證：AB1⊥BC1；
（2）求二面角B﹣AB1﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC，則AC⊥CC1．

又∵AC⊥BC，BC∩CC1=C，

∴AC⊥平面B1BCC1，則AC⊥BC1，

∵BC=CC1，∴四邊形B1BCC1是正方形，

∴BC1⊥B1C，

又AC∩B1C=C，∴BC1⊥平面AB1C，則AB1⊥BC1

（2）解：設BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于點P，連結BP．

由（1）知BO⊥AB1，而BO∩OP=O，

∴AB1⊥平面BOP，則BP⊥AB1，

∴∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角．

∵△OPB1～△ACB1，∴ ，

∵BC=CC1=a，AC=2a，∴OP= ，

∴ = ．

在Rt△POB中，sin∠OPB= ，

∴二面角B﹣AB1﹣C的正弦值為 ．

【解析】（1）由已知可得AC⊥平面B1BCC1 ， 則AC⊥BC1 ， 再由BC=CC1 ， 得BC1⊥B1C，由線面垂直的判定可得BC1⊥平面AB1C，從而得到AB1⊥BC1；（2）設BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于點P，連結BP．由（1）知BO⊥AB1 ， 進一步得到AB1⊥平面BOP，說明∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角．然后求解直角三角形得答案．