Question

下列命題正確的序號(hào)為

①③④

．
①若等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，則三點(diǎn)（10，

S10

10

）、（100，

S100

100

）、（110、

S110

110

）共線；
②若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，則數(shù)列{log₂a_n}為等差數(shù)列；
③等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=2n+a，則a=-1；
④若數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+1=a₁+qS_n（其中常數(shù)a₁q≠0），則{a_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析：利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、求和公式可判斷①②③④四個(gè)命題的正誤．

解答：解：①∵等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，=na₁+

n(n-1)d

2

，
∴

Sn

n

=（a₁-

d

2

）+

d

2

n，
∴數(shù)列{

Sn

n

}關(guān)于n的一次函數(shù)（d≠0）或常函數(shù)（d=0），故（10，

S10

10

）、（100，

S100

100

）、（110、

S110

110

）共線，正確；
②不妨令a_n=-1，數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，但log₂a_n為無意義，故②錯(cuò)誤；
③依題意，a₁=2+a，a₂=（2²+a）-（2+a）=2，a₃=（2³+a）-（2²+a）=4，
∵a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，
∴a22=a₁•a₃，即4=4（2+a），解得a=-1．故③正確；
④∵S_n+1=a₁+qS_n，
∴S_n+2=a₁+qS_n+1，
兩式相減得：a_n+2=qa_n+1，即

an+2

an+1

=q；
又S₂=a₁+a₂=a₁+a₁q，
∴

a2

a1

=q，
∴{a_n}是等比數(shù)列，故④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，突出考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和，考查轉(zhuǎn)化思想與分析運(yùn)算能力，屬于難題．