Question

（2013•濟南一模）下列命題正確的序號為

②③④

．
①函數y=ln（3-x）的定義域為（-∞，3]；
②定義在[a，b]上的偶函數f（x）=x²+（a+5）x+b最小值為5；
③若命題P：對?x∈R，都有x²-x+2≥0，則命題￢P：?x∈R，有x²-x+2＜0；
④若a＞0，b＞0，a+b=4，則

1

a

+

1

b

的最小值為1．

Answer 1

分析：①由對數函數y=lnx的定義域為{x∈R|x＞0}可求出本題的答案．
②直接利用偶函數的定義域關于原點對稱，可得a與b互為相反數，即可得到答案．
③利用全稱命題的否定是特稱命題，直接寫出命題的否定即可．
④題目給出了兩個正數a、b的和是定值1，求

1

a

+

1

b

的最小值，直接運用基本不等式不能得到要求的結論，可想著把要求最值的式子的分子的1換成a+b，或整體乘1，然后換成a+b，采用多項式乘多項式展開后再運用基本不等式．

解答：解：①∵3-x＞0，即x＜3，∴函數y=ln（3-x）的定義域為（-∞，3），故不正確；
②∵函數f（x）=x²+（a+5）x+b是定義在[a，b]上的偶函數，
∴a=-5，其定義域關于原點對稱，既[a，b]關于原點對稱．
所以a與b互為相反數即a+b=0．
∴f（x）=x²+5，最小值為5，故②正確；
③：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題對?x∈R，都有x²-x+2≥0，則命題￢P：?x∈R，有x²-x+2＜0，正確；
④

1

a

+

1

b

=

1

4

（

1

a

+

1

b

）（a+b）=

1

4

（

b

a

+

a

b

+2）≥

1

4

（2+2）=1，當且僅當a=b時取等號．
所以

1

a

+

1

b

的最小值為1．正確．
故答案為：②③④．

點評：本題考查判斷命題的真假及復合命題與簡單命題真假的關系；函數定義域、奇偶性的判斷、命題的否定、利用基本不等式求最值等問題．