Question

【題目】已知函數.

（1）討論在上極值點的個數；

（2）若是函數的兩個極值點，且恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上無極值點；當時，在上有兩個極值點；當時，在上只有一個極值點.；（2）.

【解析】

（1）首先求導得到，分類討論的范圍，求其單調區間，再根據單調區間即可得到極值點個數.

（2）首先根據題意得到，再令，構造函數，求出的最小值，即可得到實數的取值范圍.

（1），令，

所以，，

①當，即時，恒成立，

即，為增函數，此時在上無極值點；

②當，即時，由得，，.

（i）若，則，

.

則，，為增函數，

，，為減函數，

，，為增函數，

故此時在上有兩個極值點；

（ii）若，則，

而.

則，，為增函數，

，，為減函數，

故此時在上只有一個極值點；

綜上可知，當時，在上無極值點；

當時，在上有兩個極值點；

當時，在上只有一個極值點.

（2）因為是函數的兩個極值點，

所以令，得是方程的兩根，

所以，即：，，.

令，則，，

又，

所以在區間內單調遞減，，即.

所以，即實數的取值范圍是.