Question

對于數列A_n：a₁，a₂，…，a_n（a_i∈N，i=1，2，…，n），定義“T變換”：T將數列A_n變換成數列B_n：b₁，b₂，…，b_n，其中b_i=|a_i-a_i+1|（i=1，2，…，n-1），且b_n=|a_n-a₁|，這種“T變換”記作B_n=T（A_n）．繼續對數列B_n進行“T變換”，得到數列C_n，…，依此類推，當得到的數列各項均為0時變換結束．
（Ⅰ）試問A₃：4，2，8和A₄：1，4，2，9經過不斷的“T變換”能否結束？若能，請依次寫出經過“T變換”得到的各數列；若不能，說明理由；
（Ⅱ）求A₃：a₁，a₂，a₃經過有限次“T變換”后能夠結束的充要條件；
（Ⅲ）證明：A₄：a₁，a₂，a₃，a₄一定能經過有限次“T變換”后結束．

Answer 1

（Ⅰ）解：數列A₃：4，2，8不能結束，各數列依次為2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．從而以下重復出現，不會出現所有項均為0的情形． …（2分）
數列A₄：1，4，2，9能結束，各數列依次為3，2，7，8；1，5，1，5；4，4，4，4；0，0，0，0．…（3分）
（Ⅱ）解：A₃經過有限次“T變換”后能夠結束的充要條件是a₁=a₂=a₃．…（4分）
若a₁=a₂=a₃，則經過一次“T變換”就得到數列0，0，0，從而結束． …（5分）
當數列A₃經過有限次“T變換”后能夠結束時，先證命題“若數列T（A₃）為常數列，則A₃為常數列”．
當a₁≥a₂≥a₃時，數列T（A₃）：a₁-a₂，a₂-a₃，a₁-a₃．
由數列T（A₃）為常數列得a₁-a₂=a₂-a₃=a₁-a₃，解得a₁=a₂=a₃，從而數列A₃也為常數列．
其它情形同理，得證．
在數列A₃經過有限次“T變換”后結束時，得到數列0，0，0（常數列），由以上命題，它變換之前的數列也為常數列，可知數列A₃也為常數列． …（8分）
所以，數列A₃經過有限次“T變換”后能夠結束的充要條件是a₁=a₂=a₃．
（Ⅲ）證明：先證明引理：“數列T（A_n）的最大項一定不大于數列A_n的最大項，其中n≥3”．
證明：記數列A_n中最大項為max（A_n），則0≤a_i≤max（A_n）．
令B_n=T（A_n），b_i=a_p-a_q，其中a_p≥a_q．
因為a_q≥0，所以b_i≤a_p≤max（A_n），
故max（B_n）≤max（A_n），證畢． …（9分）
現將數列A₄分為兩類．
第一類是沒有為0的項，或者為0的項與最大項不相鄰（規定首項與末項相鄰），此時由引理可知，max（B₄）≤max（A₄）-1．
第二類是含有為0的項，且與最大項相鄰，此時max（B₄）=max（A₄）．
下面證明第二類數列A₄經過有限次“T變換”，一定可以得到第一類數列．
不妨令數列A₄的第一項為0，第二項a最大（a＞0）．（其它情形同理）
①當數列A₄中只有一項為0時，
若A₄：0，a，b，c（a＞b，a＞c，bc≠0），則T（A₄）：a，a-b，|b-c|，c，此數列各項均不為0
或含有0項但與最大項不相鄰，為第一類數列；
若A₄：0，a，a，b（a＞b，b≠0），則T（A₄）：a，0，a-b，b；T（T（A₄））：a，a-b，|a-2b|，a-b
此數列各項均不為0或含有0項但與最大項不相鄰，為第一類數列；
若A₄：0，a，b，a（a＞b，b≠0），則T（A₄）：a，a-b，a-b，b，此數列各項均不為0，為第一類數列；
若A₄：0，a，a，a，則T（A₄）：a，0，0，a；T（T（A₄））：a，0，a，0；T（T（T（A₄）））：a，a，a，a，
此數列各項均不為0，為第一類數列．
②當數列A₄中有兩項為0時，若A₄：0，a，0，b（a≥b＞0），則T（A₄）：a，a，b，b，此數列各項均不為0，為第一類數列；
若A₄：0，a，b，0（a≥b＞0），則T（A）：a，a-b，b，0，T（T（A））：b，|a-2b|，b，a，此數列各項均不為0或含有0項但與最大項不相鄰，為第一類數列．
③當數列A₄中有三項為0時，只能是A₄：0，a，0，0，則T（A）：a，a，0，0，T（T（A））：0，a，0，a，T（T（T（A）））：a，a，a，a，此數列各項均不為0，為第一類數列．
總之，第二類數列A₄至多經過3次“T變換”，就會得到第一類數列，即至多連續經歷3次“T變換”，數列的最大項又開始減少．
又因為各數列的最大項是非負整數，故經過有限次“T變換”后，數列的最大項一定會為0，此時數列的各項均為0，從而結束．…（13分）
分析：（Ⅰ）根據新定義，可得數列A₃：4，2，8不能結束，數列A₄：1，4，2，9能結束，并可寫出各數列；
（Ⅱ）A₃經過有限次“T變換”后能夠結束的充要條件是a₁=a₂=a₃，先證明a₁=a₂=a₃，則經過一次“T變換”就得到數列0，0，0，從而結束，再證明命題“若數列T（A₃）為常數列，則A₃為常數列”，即可得解；
（Ⅲ）先證明引理：“數列T（A_n）的最大項一定不大于數列A_n的最大項，其中n≥3”，再分類討論：第一類是沒有為0的項，或者為0的項與最大項不相鄰（規定首項與末項相鄰），此時由引理可知，max（B₄）≤max（A₄）-1．
第二類是含有為0的項，且與最大項相鄰，此時max（B₄）=max（A₄）．證明第二類數列A₄經過有限次“T變換”，一定可以得到第一類數列．
點評：本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，考查分類討論的數學思想，難度較大．