Question

甲、乙兩容器中分別盛有兩種濃度的某種溶液，從甲容器中取出溶液，將其倒入乙容器中攪勻，再從乙容器中取出溶液，將其倒入甲容器中攪勻，這稱為是一次調和，已知第一次調和后，甲、乙兩種溶液的濃度分別記為：，，第次調和后的甲、乙兩種溶液的濃度分別記為：、.
（1）請用、分別表示和；
（2）問經過多少次調和后，甲乙兩容器中溶液的濃度之差小于.

Answer 1

（1），；（2）.

試題分析：（1）根據題中條件歸納出第次調和時乙容器中溶質的量等于從甲容器中取出的溶質的量以及從乙容器中本身的溶質的量之和，從而得到與和之間的關系，利用同樣的方法得到與與，從而實現利用和來表示；（2）利用（1）中的表達式并結合定義得到數列為等比數列，求出該數列的首項與公比，確定數列的通項公式，然后解不等式，求出相應的即可.
（1）由題意可設在第一次調和后的濃度為，，
；

（2）由于題目中的問題是針對濃度之差，所以，我們不妨直接考慮數列．
由（1）可得：
，
所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列．
所以，，
由題，令，得．所以，，
由得，所以，.
即第次調和后兩溶液的濃度之差小于.