Question

設命題p：方程

x2

1-2m

+

y2

m+4

=1表示的圖象是雙曲線；命題q：?x∈R，3x²+2mx+（m+6）＜0．求使“p且q”為真命題時，實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據復合命題真假的判斷，可得命題p和命題q都是真命題．再根據雙曲線方程的形式和二次函數的圖象與性質，分別解出命題p為真和命題q為真時m的取值范圍，最后取交集即可得到本題答案．

解答：解：∵“p且q”為真命題，
∴命題p和命題q都是真命題
∵命題p：方程

x2

1-2m

+

y2

m+4

=1表示的圖象是雙曲線，p是真命題
∴（1-2m）（m+4）＜0，解之得m＜-4或m＞

1

2

又∵命題q：?x∈R，3x²+2mx+（m+6）＜0，q是真命題
∴△=4m²-12（m+6）＞0，解之得m＜-3或m＞6
因此，使“p且q”為真命題時的m的取值范圍為（-∞，-4）∪（6，+∞）．

點評：本題以命題真假的判斷為載體，求實數m的取值范圍，著重考查了雙曲線的標準方程和二次函數的圖象與性質等知識點，屬于基礎題．