Question

設p：方程

x2

1-2m

+

y2

m+2

=1表示雙曲線，q：函數g（x）=x3+mx2+(m+

4

3

)x+6在R上既有極大值又有極小值．求使p∧q為真命題的實數m的范圍．

Answer 1

分析：根據雙曲線的概念求出p為真命題的m取值范圍；再由導數研究函數的單調性，算出當q為真命題的m取值范圍．因為p∧q為真命題，所以求兩種情況下m范圍的交集，即可得到實數m的范圍．

解答：解：若p為真命題，則（1-2m）（m+2）＜0，解之得m＜-2或m＞

1

2

若q為真命題，則g'（x）=3x2+2mx+m+

4

3

在R上既有正值又有負值
即△=4m²-12（m+

4

3

）＞0，解之得m＜-1或m＞4
∵p∧q為真命題
∴p、q均為真命題，可得m＜-2或m＞4
綜上所述，可得實數m的范圍是（-∞，-2）∪（4，+∞）

點評：本題通過命題真假的判斷為載體，考查了雙曲線的基本概念和利用導數研究函數的單調性與極值等知識點，屬于中檔題．