Question

如圖，直線與拋物線（常數）相交于不同的兩點、，且（為定值），線段的中點為，與直線平行的切線的切點為（不與拋物線對稱軸平行或重合且與拋物線只有一個公共點的直線稱為拋物線的切線，這個公共點為切點）．

（1）用、表示出點、點的坐標，并證明垂直于軸；
（2）求的面積，證明的面積與、無關，只與有關；
（3）小張所在的興趣小組完成上面兩個小題后，小張連、，再作與、平行的切線，切點分別為、，小張馬上寫出了、的面積，由此小張求出了直線與拋物線圍成的面積，你認為小張能做到嗎？請你說出理由．

Answer 1

（1），，（2），（3）能.

試題分析：（1）因為D點為直線與拋物線的交點A，B中點，所以求D點坐標就根據直線方程與拋物線方程聯立方程組，利用韋達定理求解，即由，得，，點.因為C點為切點，利用切線方程與拋物線方程聯立方程組后的判別式為零進行求解，即由,得，得.由于、的橫坐標相同，垂直于軸．（2）求三角形面積，必須觀察結構，合理選用底邊與高.本題將CD選為底,則為高，利用（1）求出，則，（3）對題目“馬上”的理解，就是進行類比，直接寫出結論. 由（1）知垂直于軸，，由（2）可得、的面積只與有關，將中的換成，可得．而這一過程可無限類比下去,依次得到一列數：，，這些數構成一個公比為無窮等比數列，其和可看成直線與拋物線圍成的面積，即
試題解析：（1）由，得，
點          2分
設切線方程為，由,得，，切點的橫坐標為，得    4分
由于、的橫坐標相同，垂直于軸．        6分
（2），．   8分
．        11分
的面積與、無關，只與有關．      12分
（本小題也可以求，切點到直線的距離，相應給分）
（3）由（1）知垂直于軸，，由（2）可得、的面積只與有關，將中的換成，可得．  14分
記，，按上面構造三角形的方法，無限的進行下去，可以將拋物線與線段所圍成的封閉圖形的面積，看成無窮多個三角形的面積的和，即數列的無窮項和，此數列公比為．