Question

【題目】已知圓C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．
（1）若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；
（2）從圓C外一點P（x1 ， y1）向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的點P的坐標．

Answer 1

【答案】解：（1）∵切線在兩坐標軸上的截距相等，
∴當截距不為零時，設切線方程為x+y=a，
又∵圓C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，
∴圓心C（﹣1，2）到切線的距離等于圓的半徑，
即，
解得：a=﹣1或a=3，
當截距為零時，設y=kx，
同理可得k=2+或k=2-，
則所求切線的方程為x+y+1=0或x+y﹣3=0或y=（2+）或y=（2-）．
（2）∵切線PM與半徑CM垂直，
∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2 ．
∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12 ．
∴2x1﹣4y1+3=0．
∴動點P的軌跡是直線2x﹣4y+3=0．
∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．
而|PO|的最小值為原點O到直線2x﹣4y+3=0的距離d=，
∴由，可得
故所求點P的坐標為P(-,)．
【解析】（1）當截距不為0時，根據圓C的切線在x軸和y軸的截距相等，設出切線方程x+y=a，然后利用點到直線的距離公式求出圓心到切線的距離d，讓d等于圓的半徑r，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到切線的方程；當截距為0時，設出切線方程為y=kx，同理列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得到切線的方程；
（2）根據圓切線垂直于過切點的半徑，得到三角形CPM為直角三角形，根據勾股定理表示出點P的軌跡方程，由軌跡方程得到動點P的軌跡為一條直線，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原點到P軌跡方程的距離即為|PO|的最小值，然后利用兩點間的距離公式表示出P到O的距離，把P代入動點的軌跡方程，兩者聯立即可此時P的坐標．