Question

【題目】已知函數（且）.

（1）求函數的定義域，并求出當時，常數的值；

（2）在（1）的條件下，判斷函數在的單調性，并用單調性定義證明；

（3）設，若方程有實根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）定義域為或，（2）在的單調遞增，見解析（3）

【解析】

（1）解不等式得出該函數的定義域，由結合對數的運算性質得出；

（2）利用定義以及不等式的性質證明單調性即可；

（3）將方程轉化為二次函數，通過討論對稱軸的位置，求出的取值范圍.

解：（1）由且

知

∴或

∴定義域為或

由得

∴

∵

∴

（2）由（1），判斷在的單調遞增

證明：設，則

∴，即

∴

∴在的單調遞增.

（3）函數的定義域為，函數的定義域為，

∵有實根，在有實根

在有實根

化簡整理得，方程在上有解

設 對稱軸.

①即且

∵且在為增函數，所以方程在無解.

②，即

則，即，解得

綜上.