Question

已知數列{a_n}滿足a1=-1，an+1=

(3n+3)an+4n+6

n

．
（1）求數列（a_n）的通項公式；
（2）令bn=

3n-1

an+2

，數列{b_n}的前n項和為S_n，求證：當n≥2時Sn2＞2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)；
（4）證明：bn+1+bn+2+…+b2n＜

4

5

（5）．

Answer 1

分析：（1）將已知關系式兩邊同除以n（n+1）變形

an+1

n+1

=3

an

n

+

6

n

-

2

n+1

、整理、轉化成等差或等比數列問題解決．
（2）由（1）能知bn=

1

n

，但數列{b_n}的前n項和S_n無法進一步化簡，因此考慮利用b_n，S_n的關系bn=

S1      n=1 Sn-Sn-1    n≥2

進行相互轉化求證．
（3）是與自然數有關的不等式命題，用數學歸納法證明．

解答：解：（1）由已知得na_n+1=3（n+1）a_n+4n+6，兩邊同除以n（n+1）得：

an+1

n+1

=3

an

n

+

6

n

-

2

n+1

，所以

an+1+2

n+1

=3

an+2

n

，
所以{

an+2

n

}是首項為1，公比為q=3的等比數列．
所以

an+2

n

=3n-1．∴a_n=n•3^n-1-2
（2）由（1）知bn=

1

n

．
當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=

1

n

即Sn-

1

n

=Sn-1．
兩邊平方得Sn2-Sn-12=

2Sn

n

-

1

n2

，Sn-12-Sn-22=

2Sn-1

n-1

-

1

(n-1)2

，Sn-22-Sn-32=

2Sn-2

n-2

-

1

(n-2)2

，
┅┅S22-S12=

2S2

2

-

1

22

相加得Sn2-1=2(

S2

2

+

S3

3

++

Sn

n

)-(

1

22

+

1

32

++

1

n2

)
又1-(

1

22

+

1

32

++

1

n2

)＞1-(

1

1×2

+

1

2×3

++

1

n(n-1)

)=

1

n

＞0∴Sn2＞2(

S2

2

+

S3

3

++

Sn

n

)．
（3）（數學歸納法）
當n=1，2時，顯然成立；
當n≥2時，證明不等式

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

＜

4

5

-

1

2n+1

＜

4

5

．
假設當n=k（k≥2）時命題也成立，即

1

k+1

+

1

k+2

++

1

2k

＜

4

5

-

1

2k+1

則當n=k+1時

1

k+2

+

1

k+3

++

1

2k+2

＜

4

5

-

1

2k+1

-

1

k+1

+

1

2k+1

+

1

2k+2

=

4

5

-

1

2k+2

＜

4

5

-

1

2k+3

＜

4

5

所以當n=k+1時命題也成立，
故原不等式成立．

點評：（1）以數列的遞推關系為載體，構造等比數列，求出了數列（a_n）的通項公式．（2）利用b_n，S_n的關系解決，避免了繁瑣的S_n的計算式表示（3）要求學生掌握數學歸納法在證明題中的運用．三個問題跨度大，思維跳躍性強．是難題．