Question

【題目】已知有限集合，定義如下操作過程：從中任取兩個元素、，由中除了、以外的元素構成的集合記為；①若，則令；②若，則；這樣得到新集合，例如集合經過一次操作后得到的集合可能是也可能得到等，可繼續對取定的實施操作過程，得到的新集合記作，……，如此經過次操作后得到的新集合記作，設，對于，反復進行上述操作過程，當所得集合只有一個元素時，則所有可能的集合為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根據定義用運算律證明實施的具體操作過程無關，再根據結果逆推求解.

解：由題可知中僅有一項，令

對于滿足的實數定義運算：,

下面證明這種運算滿足交換律和結合律.

因為,且,所以,即該運算滿足交換律;

因為

且,

所以,即該運算滿足結合律;

所以中的項與實施的具體操作過程無關;

選擇如下操作過程求：由題可知;

易知;

所以：

易知經過3次操作后剩下一項為,

故答案為：.