Question

【題目】已知函數(shù) ，且滿足.

（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；

（2）設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值；

（3）若存在實(shí)數(shù)m，使得關(guān)于x的方程恰有4個(gè)不同的正根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2) 時(shí)， . (3)

【解析】試題分析：（1）根據(jù)確定a.再任取兩數(shù)，作差，通分并根據(jù)分子分母符號(hào)確定差的符號(hào)，最后根據(jù)定義確定函數(shù)單調(diào)性（2）先根據(jù)絕對(duì)值定義將函數(shù)化為分段函數(shù)，都可化為二次函數(shù)，再根據(jù)對(duì)稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系確定最值，最后取兩個(gè)最大值中較大值（3）先對(duì)方程變形得，設(shè),轉(zhuǎn)化為方程方程在有兩個(gè)不等的根，根據(jù)二次函數(shù)圖像，得實(shí)根分布條件，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍.

試題解析：(1) 由，得或0.

因?yàn)?/span>，所以，所以.

當(dāng)時(shí)， ，任取，且，

則 ，

因?yàn)?/span>，則， ，

所以在上為增函數(shù)；

（2），

當(dāng)時(shí)， ，

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ，

因?yàn)?/span>時(shí)，所以，所以當(dāng)時(shí)， ；

綜上，當(dāng)即時(shí)， .

（3）由（1）可知， 在上為增函數(shù),當(dāng)時(shí)， .

同理可得在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)， .

方程可化為，

即.

設(shè),方程可化為.

要使原方程有4個(gè)不同的正根，

則方程在有兩個(gè)不等的根，

則有，解得，

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.