Question

【題目】已知等差數列{an}的首項a1=3，且公差d≠0，其前n項和為Sn ， 且a1 ， a4 ， a13分別是等比數列{bn}的b2 ， b3 ， b4 ． （Ⅰ）求數列{an}與{bn}的通項公式；
（Ⅱ）證明 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設等比數列的公比為q，則 ∵a1 ， a4 ， a13分別是等比數列{bn}的b2 ， b3 ， b4 ．
∴
∵a1=3，∴d2﹣2d=0
∴d=2或d=0（舍去）
∴an=3+2（n﹣1）=2n+1
∵ ，
∴bn=3n﹣1；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知
∴ = = （ ）
∴ = =
= ＜
∵ ≤ =
∴ ≥
∴
【解析】（Ⅰ）設等比數列的公比為q，利用a1 ， a4 ， a13分別是等比數列{bn}的b2 ， b3 ， b4 ， 求出公差，即可求出數列{an}與{bn}的通項公式；（Ⅱ）求出前n項和，可得數列通項，利用裂項法求數列的和，即可證得結論．
【考點精析】關于本題考查的等差數列的通項公式（及其變式）和等比數列的通項公式（及其變式），需要了解通項公式：或；通項公式：才能得出正確答案．