Question

【題目】已知函數f（x）=，把方程f（x）-x=0的根按從小到大順序排成一個數列，則該數列的前n項和Sn=_________。

Answer 1

【答案】

【解析】解答：

當時,有,則，

當時,有,則，

當時,有,則，

當時,有,則，

以此類推,當 (其中)時,則，

所以,函數的圖象與直線的交點為：(0,1)和(1,2)，

由于指數函數為增函數且圖象下凸，故它們只有這兩個交點。

然后①將函數和y=x+1的圖象同時向下平移一個單位,即得到函數和的圖象，

取的部分,可見它們有且僅有一個交點(0,0).

即當時,方程有且僅有一個根x=0.

②取①中函數和圖象的部分，再同時向上和向右各平移一個單位，

即得和y=x在0<x1上的圖象,此時它們仍然只有一個交點(1,1).

即當0<x1時,方程f(x)x=0有且僅有一個根x=1.

③取②中函數和y=x在0<x1上的圖象，繼續按照上述步驟進行，

即得到和y=x在1<x2上的圖象,此時它們仍然只有一個交點(2,2).

即當1<x2時,方程f(x)x=0有且僅有一個根x=2.

④以此類推,函數y=f(x)與y=x在(2,3],(3,4],…,(n,n+1]上的交點依次為(3,3),(4,4),…(n+1,n+1).

即方程f(x)x=0在(2,3],(3,4],…(n,n+1]上的根依次為3，4，…，n+1.

綜上所述方程f(x)x=0的根按從小到大的順序排列所得數列為：

0，1，2，3，4，…，

∴該數列的前n項和,n∈N+.

故答案為： .