Question

【題目】觀察以下各等式：

tan 30°＋tan 30°＋tan 120°＝tan 30°·tan 30°·tan 120°，

tan 60°＋tan 60°＋tan 60°＝tan 60°·tan 60°·tan 60°，

tan 30°＋tan 45°＋tan 105°＝tan 30°·tan 45°·tan 105°.

分析上述各式的共同特點(diǎn)，猜想出表示的一般規(guī)律，并加以證明．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

先歸納一般規(guī)律是：若A＋B＋C＝π，則tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.再利用正切的和差公式加以證明。

一般規(guī)律是：若A＋B＋C＝π，

則tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.

證明：因?yàn)閠an(A＋B)＝，

所以tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)．

而A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，

于是tanA＋tanB＋tanC＝tan(π－C)(1－tanAtanB)＋tanC＝－tanC＋tanAtanBtanC＋tanC＝tanA·tanB·tanC.