Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形．點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求證：AF⊥平面PCD．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，
所以AB∥CD．
又因?yàn)锳B平面PCD，CD平面PCD，
所以AB∥平面PCD．
又因?yàn)锳，B，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
所以AB∥EF．
（Ⅱ）證明：在正方形ABCD中，CD⊥AD．
又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以CD⊥平面PAD．
又AF平面PAD
所以CD⊥AF．
由（Ⅰ）可知AB∥EF，
又因?yàn)锳B∥CD，所以CD∥EF．由點(diǎn)E是棱PC中點(diǎn)，所以點(diǎn)F是棱PD中點(diǎn)．
在△PAD中，因?yàn)镻A=AD，所以AF⊥PD．
又因?yàn)镻D∩CD=D，所以AF⊥平面PCD．

【解析】（Ⅰ）證明：AB∥平面PCD，即可證明AB∥EF；（Ⅱ）利用平面PAD⊥平面ABCD，證明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可證明AF⊥平面PCD；
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想)．