Question

【題目】如圖，地面上有一豎直放置的圓形標志物，圓心為C，與地面的接觸點為G．與圓形標志物在同一平面內的地面上點P處有一個觀測點，且PG=50m．在觀測點正前方10m處（即PD=10m）有一個高為10m（即ED=10m）的廣告牌遮住了視線，因此在觀測點所能看到的圓形標志的最大部分即為圖中從A到F的圓弧．

（1）若圓形標志物半徑為25m，以PG所在直線為x軸，G為坐標原點，建立直角坐標系，求圓C和直線PF的方程；
（2）若在點P處觀測該圓形標志的最大視角（即∠APF）的正切值為 ，求該圓形標志物的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓C：x2+（y﹣25）2=252．

直線PB方程：x﹣y+50=0．

設直線PF方程：y=k（x+50）（k＞0），

因為直線PF與圓C相切，所以 ，解得

所以直線PF方程： ，即4x﹣3y+200=0

（2）解：設直線PF方程：y=k（x+50）（k＞0），圓C：x2+（y﹣r）2=r2．

因為tan∠APF=tan（∠GPF﹣∠GPA）= = ，所以

所以直線PF方程： ，即40x﹣9y+2000=0．

因為直線PF與圓C相切，所以 ，

化簡得2r2+45r﹣5000=0，即（2r+125）（r﹣40）=0．

故r=40

【解析】（1）利用圓心與半徑，可得圓的方程，利用PF與圓C相切，可得直線PF的方程；（2）先求出直線PF方程，再利用直線PF與圓C相切，求出該圓形標志物的半徑．