Question

已知A、B、C、D四個城市，它們各自有一個著名的旅游點，依次記為a，b，c，d，把A，B，C，D和a，b，c，d左、右兩列．現在一名旅游愛好者隨機用4條線把城市與旅游點全部連接起來，構成“一一對應”規定某城市與自身的旅游點相連稱為“連對”否則稱為“連錯”，連對一條得2分，連錯一條得0分．
（I）求該旅游愛好者得2分的概率；
（II）求所得分數ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）隨機用4條線把城市與旅游點全部連接起來的全排列為

A

4 4

，該旅游愛好者得2分有

C

1 4

×2種情形，最后根據古典概率的概率公式解之即可；
（II）ξ的可能取值為0，2，4，8，然后根據古典概型的概率計算公式求出相應的概率，列出分布列，最后利用數學期望公式解之即可．

解答：解：（I）隨機用4條線把城市與旅游點全部連接起來的全排列為

A

4 4

，
該旅游愛好者得2分有

C

1 4

×2種情形
∴該愛好者得2分的概率為P=

C 1 4 ×2

A 4 4

=

1

3

（II）答對題的個數為y，得分為ξ，ξ的可能取值為0，2，4，8
P（ξ=0）=

9

A 4 4

=

3

8

，P（ξ=2）=

C 1 4 ×2

A 4 4

=

1

3

P（ξ=4）=

C 1 4 ×1

A 4 4

=

1

4

，P（ξ=8）=

1

A 4 4

=

1

24

ξ的分布列為

ξ	0	2	4	8
P	3 8	1 3	1 4	1 24

∴ξ的數學期望為Eξ=0×

3

8

+2×

1

3

+4×

1

4

+8×

1

24

=2

點評：本題主要考查了古典概型及其概率計算公式，以及離散型隨機變量及其分布列和數學期望，同時考查了計算能力，屬于中檔題．