Question

【題目】如圖，已知某市穿城公路自西向東到達市中心后轉向東北方向，，現準備修建一條直線型高架公路，在上設一出入口，在上設一出入口，且要求市中心到所在的直線距離為.

（1）求，兩出入口間距離的最小值；

（2）在公路段上距離市中心點處有一古建筑（視為一點），現設立一個以為圓心，為半徑的圓形保護區，問如何在古建筑和市中心之間設計出入口，才能使高架公路及其延長線不經過保護區？

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）過點O作于點E，則OE=10，設，則，，然后由，結合，利用三角函數的性質求解.，

（2）以O為原點建立平面直角坐標系，得到圓C的方程為：，設直線AB的方程為：，根據題意由，且求解.

（1）如圖所示：

過點O作于點E，則OE=10，設，

則，，

所以，

而，

，

所以當時，.

（2）以O為原點建立平面直角坐標系，

則圓C的方程為：，

設直線AB的方程為：，

由題意得：，且，

所以，代入，

化簡得：，

解得或（舍去），

因為，所以，

所以，

當時，，

所以.