Question

已知某種鉆石的價值υ（萬元）與其重量ω （克拉）的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為35萬元．
（Ⅰ）寫出υ關于ω的函數關系式；（Ⅱ）若把一顆鉆石切割成重量比為1：3的兩顆鉆石，求價值損失的百分率；（Ⅲ）請猜想把一顆鉆石切割成兩顆鉆石時，按重量比為多少時價值損失的百分率最大？（直接寫出結果，不用證明）（注：價值損失的百分率=

原有價值-現有價值

原有價值

×100%；在切割過程中的重量損耗忽略不計）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由價值υ與其重量ω的平方成正比，可設v=kω²，且ω=3時，v=35，計算可得函數關系式；
（Ⅱ）假設鉆石的重量為a克拉，按重量比為l：3切割后的價值為k（

1

4

a）²+k（

3

4

a）² 價值損失為ka²一[k（

1

4

a）²+k（

3

4

a）²]；價值損失的百分率由公式可求；
（Ⅲ）由題意，可猜想重量比為1：1時，價值損失的百分率達到最大．

解答：解：（Ⅰ）依題意設v=kω²，又當ω=3時，v=35，即k=

350000

9

，得：v=

350000

9

ω2
（Ⅱ）設這顆鉆石的重量為a克拉，由（Ⅰ）可知，按重量比為l：3切割后的價值為k（

1

4

a）²+k（

3

4

a）²價值損失為ka²一[k（

1

4

a）²+k（

3

4

a）²]
價值損失的百分率為：

ka2-[k( 1 4 a)2+k( 3 4 a)2]

ka2

=0.375=37.5%
所以，價值損失的百分率為37.5%．
（Ⅲ）由價值損失的百分率=

原有價值-現有價值

原有價值

×100%，可以猜想，重量比為1：1時，價值損失的百分率達到最大．

點評：本題考查了正比例函數模型的實際應用，解題時按照題目中所給的公式計算，并根據計算結果猜想（Ⅲ）的結論，然后代入驗證即可．