Question

已知函數和函數f（x）=ax³-x²+1（a為常數）
（1）當a＞0時，求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）若方程f（x）=0有三個不同的解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數f（x）的導數為：f′（x）=3ax²-2x=x（3ax-2），由條件a＞0得到不等式f′（x）＜0的解集是（0，），所以函數f（x）的單調遞減區間是（0，）；
（2）有關三次多項式的零點問題，可以轉化為函數的極大值和極小值與0比較大小的問題．方程f（x）=0有三個不同的解，即可轉化為[f（x）]_極大•[f（x）]_極小＜0，由此不難得出滿足條件的實數a的取值范圍．
解答：解：（1）函數f（x）=ax³-x²+1的導數為：
f′（x）=3ax²-2x=x（3ax-2）
f′（x）=0⇒x₁=0，x₂=＞0  （a＞0）
不等式f′（x）＜0的解集是（0，），
∴當a＞0時，求函數f（x）的單調遞減區間是（0，）
（2）當a＞0時，由（1）可得函數f（x）=ax³-x²+1在（-∞，0）和（，+∞）上為增函數，
在（0，）上為減函數，而方程f（x）=0有三個不同的解
∴f（0）＞0且，解之得
同理，得到當a＜0時，使方程f（x）=0有三個不同的解的
綜上所述，得到符合題意的a的取值范圍是：
點評：本題以三次多項式函數為例，考查了利用導數研究函數的單調性和三次多項式函數的零點問題，屬于中檔題．