Question

【題目】已知A(4, 0)，B（2, 2），C (6, 0)，記△ABC的外接圓為⊙P．

（1）求⊙P的方程．

（2）對于線段PA上的任意一點G，是否存在以B為圓心的圓，在圓B上總能找到不同的兩點E、F，滿足=，若存在，求圓B的半徑的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設⊙P的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，將A(4, 0)，B（2, 2），C (6, 0)代入圓方程，解方程組即可得結果；（2）假設存在圓B: 滿足題意， ，又A(4, 0)， PA的直線方程是： ，設G（m, n）（），設F(x, y)，則中點，根據E、F在圓B上可得，進而可得結果.

試題解析：(1) 解法一：設⊙P的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．

因為點A，B，C均在所求圓上，所以

解得

故⊙P的方程是．

解法二： A(4, 0)，B（2, 2），C (6, 0)，

AB的中垂線方程為： ，①

AC的中垂線方程為： ,②

聯立①②可得圓心，

半徑，

故⊙P的方程是．

（2）假設存在圓B: 滿足題意，

，又A(4, 0)，

PA的直線方程是： ，

設G（m, n）（）

則有， ，

設F(x, y)，則中點，

由E、F在圓B上可得：，

即，①

存在E、F即方程組①有解，即圓與圓有公共點，

所以，

把代入可得

故對任意恒成立，

在上單調遞減，在單調遞增，

， ，

，解得，

又 E為線段GF的中點， E、F在圓B上，

G在圓B外

，即在恒成立