Question

【題目】為了解某品種一批樹苗生長情況，在該批樹苗中隨機抽取了容量為120的樣本，測量樹苗高度（單位：cm），經統計，其高度均在區間[19，31]內，將其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．其中高度為27 cm及以上的樹苗為優質樹苗．

（1）求圖中a的值；

（2）已知所抽取的這120棵樹苗來自于A，B兩個試驗區，部分數據如下列聯表：

	A試驗區	B試驗區	合計
優質樹苗		20
非優質樹苗	60
合計

將列聯表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認為優質樹苗與A，B兩個試驗區有關系，并說明理由；

（3）用樣本估計總體，若從這批樹苗中隨機抽取4棵，其中優質樹苗的棵數為X，求X的分布列和數學期望EX．

下面的臨界值表僅供參考：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：，其中．）

Answer 1

【答案】（1）0.025；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據直方圖數據，有，從而可得結果；（2）根據直方圖完成列聯表,利用公式求得，與臨界值比較即可得結果；（3）由已知，這批樹苗為優質樹苗的概率為，且服從二項分布，由二項分布的期望公式可得結果.

（1）根據直方圖數據，有，

解得．

（2）根據直方圖可知，樣本中優質樹苗有，列聯表如下：

	A試驗區	B試驗區	合計
優質樹苗	10	20	30
非優質樹苗	60	30	90
合計	70	50	120

可得．

所以，沒有99.9％的把握認為優質樹苗與A，B兩個試驗區有關系．

（3）由已知，這批樹苗為優質樹苗的概率為，且X服從二項分布B(4，)，

；；

；；

．

所以X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P

故數學期望EX＝.