Question

【題目】若函數的定義域為，滿足對任意，，有，則稱為型函數；若函數的定義域為，滿足對任意，恒成立，且對任意，，有，則稱為對數型函數．

（1）當函數時，判斷是否為型函數，并說明理由．

（2）當函數時，證明：是對數型函數．

（3）若函數是型函數，且滿足對任意，有，問是否為對數型函數？若是，加以證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）不是型函數，詳見解析（2）證明見解析（3）是對數型函數，證明見解析

【解析】

（1）由，作差化簡，得到當，同號時，此時，即可得到結論；

（2）因為恒成立，可利用分析法和函數的新定義，作出判定和證明．

（3）由的新定義和，得到，進而得到，再根據對數的運算性質，即可求解．

（1）由題，函數，

則

當，同號時，此時，

此時不滿足，所以不是型函數．

（2）因為恒成立，

要證對任意，，，

即證對任意，，，

即證對任意，，．

因為，

所以是對數型函數

（3）函數是對數型函數．證明如下：

因為是型函數，所以對任意，，有，

又由對任意，有，所以，

所以，所以，

所以，

所以是對數型函數．