Question

【題目】設(shè)二次函數(shù)滿足下列條件：當(dāng)時(shí)，的最小值為0，且成立；當(dāng)時(shí)，恒成立.

（1）求的解析式；

（2）若對，不等式恒成立、求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求最大的實(shí)數(shù)，使得存在實(shí)數(shù)，只要當(dāng)時(shí)，就有成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）9.

【解析】

（1）由知函數(shù)圖象的對稱軸是，最小值為0，因此頂點(diǎn)為，這樣函數(shù)解析式可寫為，在不等式令得，從而有，由此可求得；

（2）不等式化為，當(dāng)時(shí)，應(yīng)有，當(dāng)，應(yīng)有．由此可得的取值范圍；

（3）由，即的圖象與直線切于點(diǎn)，因此把的圖象向右平移，就有一部分滿足，由此可找到的最大值．

解：（1）由題意，函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

解析式可設(shè)為，

又，∴，∴，∴，

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，恒成立，

∴函數(shù)解析式為.

（2）不等式變形為：，

令，對稱軸為，

當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)增，∴，解得，∴.

當(dāng)時(shí)，，解得，

∴.

綜上所述.

（本小問也可用分離參數(shù)的方法來求）

（3）當(dāng)時(shí)，與相切于點(diǎn)，向右平移的過程中，

令與相交于兩點(diǎn)和（在左），

由圖可知，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為的最大值.

此時(shí)，得或-4，∴.

消去得：，解得或9，

∴的最大值為9.