Question

【題目】已知函數 的圖象過點（﹣1，2），且在點（﹣1，f（﹣1））處的切線與直線x﹣5y+1=0垂直．
（1）求實數b，c的值；
（2）求f（x）在[﹣1，e]（e為自然對數的底數）上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當x＜1時，f′（x）=﹣3x2+2x+b，

由題意得： 即 ，

解得：b=c=0．

（2）解：因為

當﹣1≤x＜1時，f′（x）=﹣x（3x﹣2），

解f′（x）＞0得 解f′（x）＜0得

∴f（x）在（﹣1，0）和（ ，1）上單減，在（0， ）上單增，

從而f（x）在x= 處取得極大值f（ ）=

又∵f（﹣1）=2，f（1）=0，

∴f（x）在[﹣1，1）上的最大值為2．

當1≤x≤e時，f（x）=alnx，

當a≤0時，f（x）≤0；

當a＞0時，f（x）在[1，e]單調遞增；

∴f（x）在[1，e]上的最大值為a．

∴a≥2時，f（x）在[﹣1，e]上的最大值為a；

當a＜2時，f（x）在[﹣1，e]上的最大值為2．

【解析】（1）求出x＜1時的導函數，令f（﹣1）=2，f′（x）=﹣5，解方程組，求出b，c的值．（2）分段求函數的最大值，利用導數先求出﹣1≤x＜1時的最大值；再通過對a的討論，判斷出1≤x≤e時函數的單調性，求出最大值，再從兩段中的最大值選出最大值．
【考點精析】關于本題考查的函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．