Question

攀巖運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)刺激而危險(xiǎn)的運(yùn)動(dòng)，如圖（1）在某次攀巖活動(dòng)中，兩名運(yùn)動(dòng)員在如圖所在位置，為確保運(yùn)動(dòng)員的安全，地面救援者應(yīng)時(shí)刻注意兩人離地面的距離，以備發(fā)生危險(xiǎn)時(shí)進(jìn)行及時(shí)救援．為了方便測(cè)量和計(jì)算，現(xiàn)如圖（2）A，C分別為兩名攀巖者所在位置，B為山的拐角處，且斜坡AB的坡角為θ，D為山腳，某人在E處測(cè)得A，B，C的仰角分別為α，β，γ，ED=a，
（1）求：BD間的距離及CD間的距離；
（2）求證：在A處攀巖者距地面的距離h=

asinαsin(θ+β)

cosβsin(α+θ)

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得∠CED=γ，∠BED=β，∠AED=α，借助圖形分別在直角三角形CED和直角三角形BED中求解；
（2）在直角三角形中先求出AE，BE，然后在△ABE中利用正弦定理即可求得．

解答：解：（1）根據(jù)題意得∠CED=γ，∠BED=β，∠AED=α
在直角三角形CED中，tanγ=

CD

DE

，CD=atanγ，
在直角三角形BED中，tanβ=

BD

DE

，BD=atanβ
（2）易得AE=

h

sinα

，BE=

a

cosβ

，
在△ABE中，∠AEB=α-β，∠EAB=π-（α+θ），
∴∠ABE=θ+β
正弦定理

BE

sin∠EAB

=

AE

sin∠ABE

代入整理：h=

asinαsin(θ+β)

cosβsin(α+θ)

點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生讀題識(shí)圖的能力，還考查了利用直角三角形求解三角形中的知識(shí)及利用正弦定理求解三角形．