Question

攀巖運動是一項刺激而危險的運動，如圖（1）在某次攀巖活動中，兩名運動員在如圖所在位置，為確保運動員的安全，地面救援者應時刻注意兩人離地面的距離，以備發(fā)生危險時進行及時救援．為了方便測量和計算，畫出示意圖，如圖（2）所示，點A，C分別為兩名攀巖者所在位置，點B為山的拐角處，且斜坡AB的坡角為θ，點D為山腳，某人在地面上的點E處測得A，B，C的仰角分別為α，β，γ，ED=a，求：
（Ⅰ）點B，D間的距離及點C，D間的距離；
（Ⅱ）在點A處攀巖者距地面的距離h．

Answer 1

分析：（I）分別在Rt△CDE和Rt△BED中利用正切在直角三角形的定義，可得CD=atanγ且BD=atanβ，即得所求距離．
（II）過A作AH⊥ED于H，則Rt△AEH中算出AE=

h

sinα

，同理BE=

a

cosβ

，最后在三角形ABE中利用正弦定理，可算出點A處攀巖者距地面的距離h．

解答：解：（I）根據(jù)題意，得∠CED=γ，∠ABE=β，∠ADE=α
在Rt△CDE中，tanγ=

CD

DE

，得CD=atanγ
在Rt△BED中，tanβ=

BD

DE

，得BD=atanβ
綜上所述，得點B，D間的距離為atanγ；點C，D間的距離為atanβ；
（II）過A作AH⊥ED于H，則
Rt△AEH中，AH=h，得sinα=

h

AE

，所以AE=

h

sinα

，
同理，可得BE=

a

cosβ

在△ABE中，∠AEB=α-β，∠EAB=π-（α+θ）
由正弦定理，得

BE

sin∠EAB

=

AE

sin∠ABE

，即AE=

BEsin(θ+β)

sin(α+θ)

=

asin(θ+β)

cosβsin(α+θ)

∴h=AEsinα=

asinαsin(θ+β)

cosβsin(α+θ)

點評：本題給出實際問題，求點與點之間的距離并求攀巖處距離地面的距離，著重考查了直角三角形三角函數(shù)的定義和利用正弦定理解三角形的應用等知識，屬于中檔題．