Question

【題目】對于兩個定義域相同的函數f（x）、g（x），若存在實數m，n，使h（x）=mf（x）+ng（x），則稱函數f（x）是由“基函數f（x），g（x）”生成的．
（1）若f（x）=x2+3x和g（x）=3x+4生成一個偶函數h（x），求h（2）的值；
（2）若h（x）=2x2+3x﹣1是由f（x）=x2+ax和g（x）=x+b生成，其中a，b∈R且ab≠0，求 的取值范圍；
（3）利用“基函數f（x）=log4（4x+1），g（x）=x﹣1）”生成一個函數h（x），使得h（x）滿足：
①是偶函數，②有最小值1，求h（x）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x2+3x和g（x）=3x+4生成一個偶函數h（x），則有h（x）=mx2+3（m+n）x+4n，

h（﹣x）=mx2﹣3（m+n）x+4n=mx2+3（m+n）x+4n，

∴m+n=0，

故得h（x）=mx2﹣4m，

∴h（2）=0

（2）解：設h（x）=2x2+3x﹣1=m（x2+ax）+n（x+b）=mx2+（am+n）x+nb．

∴m=2，am+n=3，nb=﹣1，

則a= ，b= ．

所以： = = ，

∵a，b∈R且ab≠0，

∴ 的取值范圍為[﹣ ，0）∪（0，+∞）

（3）解：設h（x）=m（log4（4x+1））+n（x﹣1），

∵h（x）是偶函數，

∴h（﹣x）﹣h（x）=0，

即m（log4（4﹣x+1））+n（﹣x﹣1）﹣m（log4（4x+1））﹣n（x﹣1）=0，

∴（m+2n）x=0，可得：m=﹣2n．

則h（x）=﹣2n（log4（4x+1））+n（x﹣1）=﹣2n[log4（4x+1）﹣ ]

=﹣2n[log4（2x+ ）+ ]，

∵h（x）有最小值1，則必有n＜0，且有﹣2n=1，

∴m=1，n= ，

故得h（x）=log4（4x+1） （x﹣1）

【解析】（1）先用待定系數法表示出偶函數h（x），再根據其是偶函數這一性質得到引入參數的方程，求出參數的值，即得函數的解析式，代入自變量求值即可．（2）設h（x）=2x2+3x﹣1=m（x2+ax）+n（x+b），展開后整理，利用待定系數法找到a，b的關系，由系數相等把a，b用n表示，然后結合n的范圍求解 的取值范圍；（3）設h（x）=m（log4（4x+1））+n（x﹣1），h（x）是偶函數，則h（﹣x）﹣h（x）=0，可得m與n的關系，h（x）有最小值則必有n＜0，且有﹣2n=1，求出m和n值，可得解析式．
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能正確解答此題．