Question

【題目】設曲線（a為正常數）與在x軸上方僅有一個公共點P.

（1）求實數m的取值范圍（用a表示）；

（2）O為原點，若與x軸的負半軸交于點A，當時，試求△OAP的面積的最大值（用a表示）.

Answer 1

【答案】（1）當時，或；當時，.（2）

【解析】

（1）由消去y，得①

設，問題（1）轉化為方程①在上有惟一解或等根.

只須討論以下三種情況：

1°△=0得.此時，當且僅當，即時適合；

2°當且僅當；

3°得，此時，當且僅當，即時適合.

得，此時.由于，從而.

綜上可知，當時，或；

當時，.

（2）△OAP的面積.

因，故當時，.

由惟一性得

顯然，當時，取值最小.

由于，從而取值最大，此時，故.

當時，，，此時.

下面比較與大大小.

令，得.

故當時，有

此時，.

當時，有

此時，