Question

（2003•朝陽區一模）要制造一個底面半徑為4cm，母線長為6cm的圓錐，用一塊長方形材料做它的側面，這樣的長方形的長與寬的最小值分別是

12cm，9cm

．

Answer 1

分析：根據圓錐的性質，算出側面展開扇形的圓心角α=

4π

3

，得到側面展開圖是底面半徑為R=6cm，圓心角為

4π

3

的扇形．當矩形的三條邊與扇形的弧相切且第四條邊經過半徑的外端時，矩形的邊長有最小值，由此結合題中的數據加以計算，即可得到得到矩形邊長的最小值．

解答：解：∵圓錐的底面半徑為4cm，母線長為6cm
∴圓錐的側面展開扇形的圓心角α=

4

6

×2π=

4π

3

由此可得，此圓錐的側面展開圖是底面半徑為R=6cm，圓心角為

4π

3

的扇形
按如圖方法將此扇形旋轉于矩形ABCD內，使BC、CD、AD與扇形的弧相切，
且兩條半徑的外端在線段AB上時，矩形ABCD的邊長有最小值
由此可得AB=2R=12cm，AD=R+Rcos

π

3

=

3

2

R=9cm
故答案為：12cm，9cm

點評：本題用一塊矩形鐵皮做成圓錐的側面，求矩形的最小邊長．著重考查了圓錐的側面展開圖、矩形的性質和解三角形等知識，屬于中檔題．