Question

4．已知某海濱浴場的海浪高度（單位：米）是時間（單位：小時，0≤t≤24）的函數，記作y=f（t），如表是某日各時的浪高數據：

t（時）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	1.5	1.0	0.5	1.0	1.5	1.0	0.5	1.0	1.5

（Ⅰ）在如圖的網格中描出所給的點；
（Ⅱ）觀察圖，從y=at+b，y=at²+bt+c，y=Acos（ωx+p）中選擇一個合適的函數模型，并求出該擬合模型的解析式；
（Ⅲ）依據規定，當海浪高度高于1.25米時蔡對沖浪愛好者開放，請依據（Ⅱ）的結論判斷一天內的8：00到20：00之間有多長時間可供沖浪愛好者進行活動．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接根據表中數據描點；
（Ⅱ）由圖象，可知應選擇的函數模型為：y=Acos（ωt+φ）+b，利用$\left\{\begin{array}{l}{A+b=1.5}\\{-A+b=0.5}\end{array}\right.$求得A，b的值，
再利用周期求得ω，最后代入圖象上一個最高點或一個最低點的坐標求得φ值，則函數解析式可求；
（Ⅲ）由（Ⅱ），得0.5cos$\frac{π}{6}t$+1＞1.25，解三角不等式得答案．

解答 解：（Ⅰ）由表中數據描點如圖：
；
（Ⅱ）由圖可知，應選擇的函數模型為：y=Acos（ωt+φ）+b．
不妨設A＞0，ω＞0，
則A=$\frac{1.5-0.5}{2}=0.5$，b=$\frac{1.5+0.5}{2}=1$，$\frac{2π}{ω}=12$，ω=$\frac{π}{6}$．
∴y=0.5cos（$\frac{π}{6}t+$φ）+1，
又當x=0時，y=1.5，
∴0.5cosφ+1=1.5，得cosφ=1，則φ=2kπ，k∈Z．
∴y=0.5cos（$\frac{π}{6}t+$2kπ）+1=0.5cos$\frac{π}{6}t$+1，（0≤t≤24）；
（Ⅲ）由0.5cos$\frac{π}{6}t$+1＞1.25，得cos$\frac{π}{6}t$$＞\frac{1}{2}$，
∴$2kπ-\frac{π}{3}＜\frac{π}{6}t＜2kπ+\frac{π}{3}$，即12k-2＜t＜12k+2，k∈Z．
又8≤t≤20，∴10＜t＜14．
故一天內的8：00到20：00之間有4個小時可供沖浪愛好者進行活動．

點評 本題考查函數模型的選擇及應用，考查簡單的數學建模思想方法，考查讀取圖表的能力，訓練了三角不等式的解法，是中檔題．