Question

在直角坐標平面上，已知點A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0）．點M是線段AD上的動點，如果|AM|≤2|BM|恒成立，則正實數t的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：設M（x，y），由題意可得y=，代入距離公式可得x²+（y-2）²≤4[x²+（y-1）²]，消掉y可得（3t²+12）x²-16tx+4t²≥0恒成立，進而可得其△≤0，解此不等式可得t的范圍，進而可得最小值．
解答：解：設M（x，y），則由A、M、D三點共線可得，整理可得y=，
由兩點間的距離公式，結合|AM|≤2|BM|恒成立可得x²+（y-2）²≤4[x²+（y-1）²]，
整理可得3x²+3y²-4y≥0，代入y=化簡可得（3t²+12）x²-16tx+4t²≥0恒成立，
∵3t²+12＞0，由二次函數的性質可得△=（-16t）²-4（3t²+12）•4t²≤0，
整理可得3t⁴-4t²≥0，即，解得t≥，或t≤（因為t＞0，故舍去）
故正實數t的最小值是：
故答案為：
點評：本題考查兩點間的距離公式，涉及不等式的解法，屬中檔題．